Question

12．已知函数f（x²-1）=log_m$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$（0＜m＜1）．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并用定义域加以证明；
（3）若g（x）=f（2^x）在（-∞，-1]最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由真数大于零列出不等式求出x的范围，设t=x²-1求出-1＜t＜1、x²=t+1，代入原函数化简后，求出函数f（x）的解析式及定义域；
（2）先判断出f（x）的单调性，设u（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，利用分离常数法化简，由取值、作差、变形、判号，下结论，判断出u（x₁）与u（x₂）的大小关系，由对数函数的单调性即可证明结论成立；
（3）设t=2^x，由x∈（-∞，-1]求出t的范围，由题意和（2）的结论列出方程，由对数的运算性质求出m的值．

解答 解：（1）由$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}＞0$得$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{2-{x}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$且x≠0，
设t=x²-1，则-1＜t＜1，且x²=t+1，
代入原函数得，f（t）=${log}_{m}^{（\frac{1+t}{1-t}）}$，
∴f（x）=$lo{g}_{m}\frac{1+x}{1-x}$，且函数的定义域是（-1，1）；
（2）函数f（x）=$lo{g}_{m}\frac{1+x}{1-x}$在（-1，1）上是减函数，
设u（x）=$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{-（1-x）+2}{1-x}$=$-1+\frac{2}{1-x}$，
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
则u（x₁）-u（x₂）=$-1+\frac{2}{1-{x}_{1}}$-（$-1+\frac{2}{1-{x}_{2}}$）
=$\frac{2}{1-{x}_{1}}-\frac{2}{1-{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$，
∵x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，∴1-x₁＞1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴u（x₁）-u（x₂）＜0，则u（x₁）＜u（x₂），
∵0＜m＜1，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）=$lo{g}_{m}\frac{1+x}{1-x}$在（-1，1）上是减函数；
（3）设t=2^x，由x∈（-∞，-1]得t∈（0，$\frac{1}{2}$]，
由（2）知函数f（x）=$lo{g}_{m}\frac{1+x}{1-x}$在（-1，1）上是减函数，
∵g（x）=f（2^x）在（-∞，-1]最小值为-2，
∴${log}_{m}^{（\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}）}$=-2，则m^-2=3，解得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m的值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了对数函数的定义域、性质，对数的运算法则，以及定义法证明函数单调性，考查换元法、分离常数法的灵活应用，考查化简、变形能力．