Question

4．若S_n=n²a_n（n≥2且n∈N*），a₁=1，则a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 利用递推关系：S_n=n²a_n，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．再利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：∵S_n=n²a_n，∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$×$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$×$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$×…×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×a₁=$\frac{n-1}{n+1}$×$\frac{n-2}{n}$×$\frac{n-3}{n-1}$×…×$\frac{2}{4}$×$\frac{1}{3}$×1=$\frac{2}{n（n+1）}$．n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．
故答案为：$\frac{2}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．