Question

20．已知a，b∈R，求证：a⁴+b⁴≥$\frac{1}{2}$ab（a+b）²．

Answer 1

分析 运用作差比较法，将2（a⁴+b⁴）-ab（a+b）²，展开分组，运用提取公因式和完全平方公式，以及立方差和平方差公式，因式分解，判断符号，即可得证．

解答 证明：2（a⁴+b⁴）-ab（a+b）²=2（a⁴+b⁴）-ab（a²+2ab+b²）
=（a⁴+b⁴-a³b-ab³）+（a⁴-2a²b²+b⁴）
=[a³（a-b）-b³（a-b）]+（a²-b²）²
=（a-b）（a³-b³）+（a-b）²（a+b）²，
=（a-b）²（a²+ab+b²+a²+2ab+b²）
=（a-b）²（2a²+3ab+2b²），
由（a-b）²≥0，2a²+3ab+2b²=2（a+$\frac{3}{4}$b）²+$\frac{7}{8}$b²≥0，
可得（a-b）²（2a²+3ab+2b²）≥0，
则a⁴+b⁴≥$\frac{1}{2}$ab（a+b）²．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，以及分解因式的方法，运用平方非负数和配方判断符号，属于中档题．