Question

11．已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，g（x）=[f（x）]²+f（x²），
（1）求g（x）的定义域；
（2）求g（x）的最大值以及g（x）取最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）要使函数g（x）=[f（x）]²+f（x²）有意义，必须满足$\left\{\begin{array}{l}{1≤{x}^{2}≤9}\\{1≤x≤3}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求定义域； 
（2）根据f（x）的定义域为[1，9]，先求出g（x）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数g（x）=[f（x）]²+f（x²）=（2+log₃x）²+（2+log₃x²）=（log₃x+3）²-3的最大值．

解答 解：（1）f（x）的定义域为[1，9]，
要使函数g（x）=[f（x）]²+f（x²）有意义，必须满足：
$\left\{\begin{array}{l}{1≤{x}^{2}≤9}\\{1≤x≤3}\end{array}\right.$ 可知1≤x≤3，
则g（x）的定义域为[1，3]．
（2）由f（x）的定义域为[1，9]可得g（x）的定义域为[1，3]，
又g（x）=（2+log₃x）²+（2+log₃x²）=（log₃x+3）²-3，
∵1≤x≤3，∴0≤log₃x≤1．
∴当x=3时，g（x）有最大值13．

点评 本题考查函数的最值的求法，根据f（x）的定义域先求出g（x）的定义域是正确解题的关键步骤．