Question

3．若向量$\overrightarrow{a}$=$（{\sqrt{3}cosωx，sinωx}）$，$\overrightarrow{b}$=（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overline{b}$-$\frac{1}{2}$．若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列．
（Ⅰ）求f（x）的表达式及m的值；
（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合向量的数量积运算，倍角公式，和差角公式，可得f（x）的表达式及m的值；
（Ⅱ）求出y=g（x）解析式，结合正弦函数的图象和性质，可得y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=$（{\sqrt{3}cosωx，sinωx}）$，$\overrightarrow{b}$=（sinωx，0），
∴函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overline{b}$-$\frac{1}{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}cosωx•sinωx$+sin²ωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx$-\frac{π}{6}$），
∵函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切时，
切点的横坐标依次成公差是π的等差数列．
故T=π，m=±1，
即2ω=2，ω=1，
∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，m=±1
（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，
可得$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象，
再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到y=g（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象，
当x∈$[0，\frac{π}{2}]$时，$2x+\frac{π}{6}$∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
故当$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$时，函数最最大值2，
当$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$即x=$\frac{π}{2}$时，函数最最小值-1，
故y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域为：[-1，2]

点评 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，三角函数的图象和性质，是向量与三角函数的综合应用，难度中档．