Question

18．已知$cosα=\frac{1}{3}，cos（α+β）=-\frac{1}{3}$，且$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，则cosβ=（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{5}{9}$
• D． $\frac{7}{9}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sinα和sin（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵已知$cosα=\frac{1}{3}，cos（α+β）=-\frac{1}{3}$，且$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{1}{3}$•（-$\frac{1}{3}$）+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{7}{9}$，
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．