Question

15．求符合下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在x轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±$\frac{1}{3}x$
（2）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1共焦点，它们的离心率之和为$\frac{14}{5}$．

Answer 1

分析 （1）由题意，2a=6，$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{3}$，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程；
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为$\frac{4}{5}$，可得双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程．

解答 解：（1）由题意，2a=6，$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{3}$，
∴a=3，b=1，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}$=1；  
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为$\frac{4}{5}$，
∴双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，
∴$a=2，b=2\sqrt{3}$，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程与性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．