Question

1．双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°．

Answer 1

分析 设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，由离心率e=$\frac{c}{a}$=2，b²+a²=c²可求得b=$\sqrt{3}$a，从而可求双曲线的两条渐近线所成的锐角．

解答 解：设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，
∵离心率e=$\frac{c}{a}$=2，
∴c=2a，c²=4a²，
又b²+a²=c²，
∴b²=c²-a²=3a²，
∴b=$\sqrt{3}$a，
当双曲线的焦点在x轴时，双曲线的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±$\sqrt{3}$x，
而y=$\sqrt{3}$x的倾斜角为60°，y=-$\sqrt{3}$x的倾斜角为120°，
∴双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°；
当双曲线的焦点在y轴时，同理可得，双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°；
故答案为：60°．

点评 本题考查双曲线的简单性质，求得b=$\sqrt{3}$a是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．