Question

11．已知三角形ABC中，$\overrightarrow{AB}=（{{x_1}，{y_1}}），\overrightarrow{AC}=（{{x_2}，{y_2}}）$．
（1）若$\overrightarrow{AB}=（{3，1}），\overrightarrow{AC}=（{-1，3}）$．求三角形ABC的面积S_△；
（2）求三角形ABC的面积S_△．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量数量积的运算，得$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，求出三角形ABC的面积S_△=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|；
（2）利用三角形的面积公式，结合平面向量的数量积公式，即可求出三角形的面积S_△．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=（{3，1}），\overrightarrow{AC}=（{-1，3}）$时，
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{3}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{（-1）}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3×（-1）+1×3=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴三角形ABC的面积为S_△=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5；
（2）三角形ABC的面积为S_△，
则$2{S_△}=|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow{AC}}|sinA$，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow{AC}}|•cosA$，
得：${|{\overrightarrow{AB}}|^2}•{|{\overrightarrow{AC}}|^2}{sin^2}A=4S_△^2$，①
${|{\overrightarrow{AB}}|^2}•{|{\overrightarrow{AC}}|^2}{cos^2}A={（{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}）^2}$，②
由①+②，得：${|{\overrightarrow{AB}}|^2}•{|{\overrightarrow{AC}}|^2}=4S_△^2+{（{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}）^2}$，
又${|{\overrightarrow{AB}}|^2}=x_1^2+y_1^2，{|{\overrightarrow{AC}}|^2}=x_2^2+y_2^2$；
代入化简，得：${S_△}=\frac{1}{2}|{{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}}|$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角形面积公式的灵活运用问题，是中档题目．