Question

7．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1，设a为正整数，数列{x_n}满足：x₁=a，${x_{n+1}}=[\frac{{{x_n}+[\frac{a}{x_n}]}}{2}]（n∈{N^*}）$，现有下列命题：
①当a=5时，数列{x_n}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时，总有x_n=x_k；
③当n≥1时，${x_n}＞\sqrt{a}-1$；
④对某个正整数k，若x_k+1≥x_k，则${x_n}=[\sqrt{a}]$；
其中的真命题个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假．对于①：列举即可；对于②：需举反例；对于③，可用数学归纳法加以证明；对于④：可由归纳推理判断其正误．

解答 解：对于①：当a=5时，x₁=5，x₂=$[\frac{5+[\frac{5}{5}]}{2}]$=3，x₃=$[\frac{3+[\frac{5}{3}]}{2}]$=2，故①正确；
对于②：当a=1时，x₂=$[\frac{1+[\frac{1}{1}]}{2}]$=1，x₃=1，x_k恒等于[$\sqrt{1}$]=1；
当a=2时，x₁=2，x₂=$[\frac{3+1}{2}]$=1，x₃=$[\frac{1+[\frac{2}{1}]}{2}]$=1，
∴当k≥2时，恒有xk=[$\sqrt{2}$]=1；
当a=3时，x₁=3，x₂=2，x₃=1，x₄=2，x₅=1，x₆=2，x₇=1，…，
此时数列{x_n}除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，
因此不存在正整数k，使得n≥k时，总有x_n=x_k，故②不正确；
对于③：在x_n+[$\frac{a}{{x}_{n}}$]中，当$\frac{a}{{x}_{n}}$为正整数时，x_n+[$\frac{a}{{x}_{n}}$]=x_n+$\frac{a}{{x}_{n}}$≥2$\sqrt{a}$，
∴x_n+1=$[\frac{{x}_{n}+[\frac{a}{{x}_{n}}]}{2}]$≥[$\frac{2\sqrt{a}}{2}$]=[$\sqrt{a}$]；
当$\frac{a}{{x}_{n}}$不是正整数时，令[$\frac{a}{{x}_{n}}$]=$\frac{a}{{x}_{n}}$-t，t为$\frac{a}{{x}_{n}}$的小数部分，
0＜t＜1，x_n+1=$[\frac{{x}_{n}+[\frac{a}{{x}_{n}}]}{2}]$=$[\frac{{x}_{n}+[\frac{a}{{x}_{n}}]-t}{2}]$＞[$\frac{2\sqrt{a}-t}{2}$]=[$\sqrt{a}$-$\frac{t}{2}$]=[$\sqrt{a}$]，
∴x_n+1≥[$\sqrt{a}$]，∴x_n≥[$\sqrt{a}$]，∴x_n＞$\sqrt{a}$-1，故③正确；
由以上论证知，存在某个正整数k，若x_k+1≥x_k，
则当n≥k时，总有x_n=[$\sqrt{a}$]，故④正确．
故选：B

点评 本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力．