Question

19．已知数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-1，n为奇数}\\{{2}^{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，则数列{a_n}的前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2-\frac{n}{2}，n为偶数}\\{{2}^{n+1}-3-\frac{n-1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 讨论n为偶数，n为奇数时，运用分组求和和等比数列的求和公式，综合即可得到所求．

解答 解：当n为偶数时，其前n项和S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
=（2-1）+2²+（2³-1）+2⁴+…+（2^n-1-1）+2ⁿ=（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（1+1+…+1）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-$\frac{n}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n}{2}$；
当n为奇数时，其前n项和S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
=2ⁿ-2-$\frac{n-1}{2}$+2ⁿ-1=2ⁿ⁺¹-3-$\frac{n-1}{2}$．
其前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2-\frac{n}{2}，n为偶数}\\{{2}^{n+1}-3-\frac{n-1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2-\frac{n}{2}，n为偶数}\\{{2}^{n+1}-3-\frac{n-1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的求和，注意运用等比数列的求和公式，考查分类讨论和运算能力，属于中档题．