Question

14．已知函数f（x）=-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，即可求周期和对称中心．
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1，
化简可得：f（x）=cos2x-1+$\sqrt{3}$sin2x+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z）可得对称中心的横坐标为x=$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{12}$
∴对称中心（$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{12}$，0），（k∈Z）．
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]
当2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为$-\frac{1}{2}×2=-1$．
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2×1=2．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．