Question

若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是单调增函数，如果实数t满足f（t）+f（-t）＜2f（1），那么t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先根据对数的运算性质和函数的奇偶性化简不等式，然后利用函数是偶函数得到不等式f（t）≤f（1），等价为f（|t|）≤f（1），利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（t）+f（-t）＜2f（1），等价为2f（t）≤2f（1），
即f（t）≤f（1）．
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．
∴不等式f（t）≤f（1）等价为f（|t|）≤f（1）．
即|t|≤1，
∴-1≤t≤1，
故答案为：-1≤t≤1．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f（a）=f（|a|）是解决偶函数问题的关键．先利用对数的性质将不等式进行化简是解决本题的突破点．