Question

如图，已知正三棱柱的各条棱长都为a，P为上的点。
（1）试确定的值，使得PC⊥AB；
（2）若，求二面角P—AC—B的大小；
（3）在（2）的条件下，求到平面PAC的距离。

Answer 1

解：以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，如图所示，则B（a，0，0），A₁（0，0，a），C（，，0），设P（x，0，z）

（1）由，得
即，∴P为A₁B的中点
即时，PC⊥AB .                             ……………………3分
（2）当时，由，得（x，0，z－a）
即
设平面PAC的一个法向量
则，即
即
取，则
∴
又平面ABC的一个法向量为
∴
∴二面角P—AC—B的大小为180°－120°=60°………………7分
（3）设C₁到平面PAC的距离为d
则
即C₁到平面PAC的距离为.               ……………………10分

略