Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

1

3

（a_n-1），（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；       
（2）求证{a_n}数列是等比数列并求通项公式．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已条件，分别令n=1，2，利用递推思想能求出a₁，a₂的值．
（2）由已知得an=

1

3

an-

1

3

an-1，由此能证明数列{a_n}是首项为-

1

2

，公比为-

1

2

的等比数列，从而能求出通项公式a_n．

解答： （1）解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=

1

3

（a_n-1），（n∈N^*），
∴a1=S1=

1

3

(a1-1)，
解得a₁=-

1

2

，
S₂=-

1

2

+a2=

1

3

（a₂-1），
解得a₂=

1

4

．
（2）证明：∵S_n=

1

3

（a_n-1），（n∈N^*），①
∴当n≥2时，S_n-1=

1

3

（a_n-1-1），②
①-②，得an=

1

3

an-

1

3

an-1，
整理，得a_n=-

1

2

an-1，
∴数列{a_n}是首项为-

1

2

，公比为-

1

2

的等比数列，
∴a_n=（-

1

2

）ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，解题时要注意公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的合理运用．