Question

设关于x的不等式|x-2|＜a（a∈R）的解集为A，且

3

2

∈A，-

1

2

∉A
（1）?x∈R，|x-1|+|x-3|≥a²+a恒成立，且a∈N，求a的值
（2）若a+b=1，求

1

3|b|

+

|b|

a

的最小值，并指出取得最小值时a的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,基本不等式

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用,集合

分析：（1）由

3

2

∈A，-

1

2

∉A可得

1

2

＜a≤

5

2

，再由绝对值不等式的性质可得|x-1|+|x-3|的最小值为2，结合恒成立思想，可得a²+a≤2，解出不等式，求交集，再由a∈N，即可得到a；
（2）由条件可得

1

3|b|

+

|b|

a

=

a+b

3|b|

+

|b|

a

，对b讨论，分b＞0，b＜0，运用基本不等式求出最小值，比较即可得到所求最小值，同时求出取等号的a的值．

解答： 解：（1）关于x的不等式|x-2|＜a（a∈R）的解集为A，且

3

2

∈A，-

1

2

∉A，
则a＞|

3

2

-2|且a≤|-

1

2

-2|，即有

1

2

＜a≤

5

2

，①
?x∈R，|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=2，即有
|x-1|+|x-3|的最小值为2，
?x∈R，|x-1|+|x-3|≥a²+a恒成立，即有
a²+a≤2，解得-2≤a≤1，②
由①②可得

1

2

＜a≤1，
由a∈N，则a=1；
（2）若a+b=1，则

1

3|b|

+

|b|

a

=

a+b

3|b|

+

|b|

a

，
当b＞0时，

1

3|b|

+

|b|

a

=

1

3

+（

a

3b

+

b

a

）≥

1

3

+2

a 3b • b a

=

1+2 3

3

，
当且仅当

a

3b

=

b

a

，即a=

3- 3

2

∈（

1

2

，

5

2

]，b=

3 -1

2

时，取得最小值，且为

1+2 3

3

；
当b＜0时，

1

3|b|

+

|b|

a

=-

1

3

+（

a

3b

+

b

a

）≥-

1

3

+2

a 3b • b a

=

2 3 -1

3

，
当且仅当

a

3b

=

b

a

，即a=

3+ 3

2

∈（

1

2

，

5

2

]，b=

-1- 3

2

时，取得最小值，且为

2 3 -1

3

．
综上可得，当a=

3+ 3

2

时，

1

3|b|

+

|b|

a

取得最小值，且为

2 3 -1

3

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．