Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+（2014）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数周期性的定义即可证明f（x）是周期函数；
（2）根据函数奇偶性和周期性的关系即可求出当x∈[2，4]时f（x）的解析式；
（3）根据函数的周期性先计算一个周期内的函数值之和，即可计算f（0）+f（1）+f（2）+…+（2014）的值．

解答： 证明：（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则f（x）是周期为4的周期函数；
（2）若x∈[-2，0]时，
则-x∈[0，2]时，
此时f（-x）=-2x-x²．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-2x-x²=-f（x），
则f（x）=2x+x²，x∈[-2，0]，
若x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]，
则f（x）=f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=x²-6x+8，x∈[2，4]；
（3）∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
当x∈[2，4]时，f（x）=x²-6x+8，
则f（0）=0，f（1）=2-1=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0，
则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=1-1=0，
∵f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+（2014）=f（0）+f（1）=1．

点评：本题主要考查函数值的计算，根据函数周期性的定义以及函数奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．