Question

已知函数f（x）=

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2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（ I）讨论函数f（x）的单调性；
（ II）若a=2，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
①若首项a₁=10，证明数列{a_n}为递增数列；
②若首项为正整数，数列{a_n}递增，求首项的最小值．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（ I）先求出函数的导数，通过讨论a的范围从而得到函数的单调性；
（ II）将a=2代入，求出f（x）的表达式，由（ I）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．（1）利用数学归纳法证明即可，（2）问题转化为求函数g（x）=

1

2

x²-3x+lnx的单调性问题．

解答： 解（ I）可知f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=x-a+

a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

．
当a-1=1即a=2，则f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，得f（x）在（0，+∞）单调增加．
当a-1＜1，而a＞1，即1＜a＜2时，若x∈（a-1，1），则f′（x）＜0；
若x∈（0，a-1）或x∈（1，+∞），则f′（x）＞0．
此时f（x）在（a-1，1）单调减少，在（0，a-1），（1，+∞）单调增加；
当a-1＞1，即a＞2，可得f（x）在（1，a-1）单调减少，在（0，1），（a-1，+∞）单调增加．
综上，当1＜a＜2时，函数f（x）在区间（a-1，1）上单调递减，在区间（0，a-1）和（1，+∞）上单调递增；
当a=2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞2时，函数f（x）在区间（1，a-1）上单调递减，在区间（0，1）和（a-1，+∞）上单调递增．
（ II）若a=2，则f（x）=

1

2

x²-2x+lnx，由（ I）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
（1）因为a₁=10，所以a₂=f（a₁）=f（10）=30+ln10，可知a₂＞a₁．
假设0＜a_k＜a_k+1，因为函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以f（a_k+1）＞f（a_k），即得a_k+2＞a_k+1＞0．
所以，由数学归纳法可得a_n＜a_n+1．因此数列{a_n}为递增数列．
（2）由（1）知：当且仅当0＜a₁＜a₂，数列{a_n}为递增数列．
所以，题设即

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2

a12-2 a₁+lna₁＞a₁，且a₁为正整数．得

1

2

a12-3a₁+lna₁＞0．
令g（x）=

1

2

x²-3x+lnx（x≥1），则g′（x）=x-3+

1

x

，可知函数g（x）在区间[3，+∞）递增．
由于g（1）=

1

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-3＜0，g（2）=2-6+ln2=ln2-4＜0，g（5）=-

5

2

+ln5＜0，g（6）=ln6＞0．所以，首项a₁的最小值为6．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了分类讨论思想，考查了数学归纳法的应用，是一道难题．