Question

已知⊙M：（x+1）²+y²=1，⊙N：（x-1）²+y²=9，动圆P与⊙M外切并且与⊙N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）l是与⊙P、⊙M都相切的一条直线，当⊙P的半径最长时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；
（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R-2≤4-2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x-2）²+y²=4．分①l的倾斜角为90°．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，确定Q（-4，0），设l：y=k（x+4），由l与M相切，可得结论．

解答： 解：（1）由圆M：（x+1）²+y²=1，可知圆心M（-1，0）；圆N：（x-1）²+y²=9，圆心N（1，0），半径3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，
而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（去掉点（-2，0））
（2）设曲线C上任意一点P（x，y），
由于|PM|-|PN|=2R-2≤3-1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0），R=2时，其半径最大，其方程为（x-2）²+y²=4．
①l的倾斜角为90°，直线l的方程为x=0．
②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，
设l与x轴的交点为Q，则

|QP|

|QM|

=

R

r1

，可得Q（-4，0），所以可设l：y=k（x+4），
由l与M相切可得：

|3k|

1+k2

=1，解得k=±

2

4

．
∴直线l的方程为y=±

2

4

（x+4），
综上可知，直线l的方程为y=±

2

4

（x+4）或x=0．

点评：本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．