Question

如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求证：BE=EF．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（Ⅰ）由切割线定理得PA²=PC•PD，从而PD=4，再由已知条件推导出△PAC∽△CBA，由此能求出AC．
（Ⅱ）由相交弦定理得CE•ED=BE•EF，从而求出EF=

2

，由此得到EF=BE．

解答： （Ⅰ）解：∵PA是切线，PCD是割线，
∴PA²=PC•PD，PA=2，PC=1，∴PD=4，
又∵PC=ED=1，∴CE=2，
∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，
∴△PAC∽△CBA，∴

PC

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=PC•AB=2，∴AC=

2

．
（Ⅱ）证明：∵BE=AC=

2

，CE=2，
由相交弦定理，得：CE•ED=BE•EF，
∴EF=

2•1

2

=

2

，
∴EF=BE．

点评：本题考查线段长的求法，考查两线段相等的证明，解题时要认真审题，注意相交弦定理和切割线定理的合理运用．