Question

某商场在元旦举行促销活动，其中有一种过关游戏，要求参与者闯两关，只有过了第一关才能闯第二关，每关最多可以闯两次，连续两次失败退出游戏，过关者给予一种“代金劵”奖励，在本商场购物可抵相同面值的现金，只过第一关获代金劵512元，两关全过可获代金劵1024沿，A、B、C、D四位顾客有幸参与了这次过关游戏，已知这四名顾客每人每次闯关成功的概率均为

3

4

，且每次过关与否互不影响，在该次游戏中，这四名顾客不放弃所有机会．
（1）求顾客A只获得512元代金劵的概率；
（2）求顾客A所获得的代金劵x的数学期望；
（3）求四名顾客中获得1024元代金劵的人数为y，求y的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）“顾客A第i次闯第一关成功”记作事件A_i（i=1，2），“顾客A第i次闯第二关成功”记作事件B_i（i=1，2），
“顾客A闯第一关成功”记作事件A，“顾客A闯第二关成功”记作事件B，则P（A_i）=P（B_i）=

3

4

，P（A）=1-P（A₁A₂）=P（B）=

15

16

．设事件C=“顾客A只获得512元代金券”，由P（C）=P（A₁B₁B₂）+P（A₁A₂B₁B₂），能求出顾客A只获得512元代金券．
（2）X的可能取值为0，512，1024，分别求出相应的概率，由此能求出顾客A所获代金劵x的数学期望．
（3）由题意，Y～B（4，

225

256

），由此能求出y的数学期望．

解答： 解：（1）“顾客A第i次闯第一关成功”记作事件A_i（i=1，2），
“顾客A第i次闯第二关成功”记作事件B_i（i=1，2），
“顾客A闯第一关成功”记作事件A，“顾客A闯第二关成功”记作事件B，
则P（A_i）=P（B_i）=

3

4

，
P（A）=1-P（A₁A₂）=1-

1

4

×

1

4

=

15

16

，
P（B）=1-P（B₁B₂）=1-

1

4

×

1

4

=

15

16

．
设事件C=“顾客A只获得512元代金券”，
则P（C）=P（A₁B₁B₂）+P（A₁A₂B₁B₂）=

3

4

×

1

4

×

1

4

+

3

4

×

1

4

×

1

4

=

15

256

．
（2）X的可能取值为0，512，1024，
P（X=0）=P(A1A2)=

1

4

×

1

4

=

1

16

，
P（X=512）=P（A）=P（A₁B₁B₂）+P（A₁A₂B₁B₂）
=

3

4

×

1

4

×

1

4

+

3

4

×

1

4

×

1

4

=

15

256

，
P（X=1024）=P（AB）=

15

16

×

15

16

=

225

256

，
顾客A所获得的代金劵x的数学期望：
EX=0×

1

16

+512×

15

256

+1024×

225

256

=930（元）．
（3）由题意，Y～B（4，

225

256

），
∴y的数学期望EY=4×

225

256

=

225

64

≈3人．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．