Question

如图，已知定点E（-1，0），F（1，0），动点A满足|AE|=4，线段AF的垂直平分线交AE于点M．
（1）求点M的轨迹C₁的方程；
（2）抛物线C₂：y²=4x与C₁在第一象限交于点P，直线PF交抛物线于另一个点Q，求抛物线的POQ弧上的点R到直线PQ的距离的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）判断轨迹是椭圆，求解a，b即可得到椭圆方程．
（2）利用椭圆与抛物线取得P的坐标，求出PQ的方程，利用直线方程与抛物线方程求出直线方程，然后求解抛物线的POQ弧上的点R到直线PQ的距离的最大值．

解答： 解：（1）依题意有|ME|+|MF|=|ME|+|MA|
=|AE|=4＞|EF|=2
∴点M的轨迹是以E，F为焦点的椭圆．…（3分）
∵2a=4，2c=2，
∴a=2，b=

3

，
故所求点M的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）联立方程

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

，可得3²+16x-12=0，
解得x=

2

3

或x=-6（舍去）
将x=

2

3

代入抛物线方程得y=

2 6

3

，
∴点P的坐标为（

2

3

，

2 6

3

）…（8分）
可得k_PF=-2

6

，于是可得PQ所在直线的方程为：2

6

x+y-2

6

=0…（9分）
设PQ的平行线方程为：2

6

x+y+t=0．
由

y2=4x 2 6 x+y+t=0

⇒24x2+4(

6

-1)x+t2=0
令△=16(

6

t-1)2-96t2=0，解得t=

6

12

…（11分）
∵R到PQ的最大距离即为直线2

6

x+y+

6

12

=0与PQ之间的距离，
故所求为d=

6 12 +2 6

24+1

=

5

12

6

  …（13分）

点评：本题考查抛物线与椭圆的位置关系的综合应用，直线方程与排趋性方程的关系，点到直线的距离，考查分析问题解决问题的能力．