Question

（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则AB=

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：推理和证明

分析：利用切割线定理，求出圆的半径，通过直角三角形求解cos∠AOB，然后利用余弦定理求解AB即可．

解答： 解：由题意可知图形如图：PA是圆O的切线，切点为A，可得AC⊥PA，
PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，
延长PO交圆与D，
由切割线定理可知：PA²=PB•PD，设圆的半径为r，
则：4=1（2r+1），解得r=

3

2

．
可得OB=OA=OD=

3

2

，cos∠AOB=

OA

OP

=

3 2

5 2

=

3

5

．
由余弦定理可得：AB²=OA²+OB²-2•OA•OBcos∠AOB=(

3

2

)2+(

3

2

)2-2×(

3

2

)2×

3

5

=

9

5

．
∴AB=

3 5

5

．
故答案为：

3 5

5

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，切割线定理的应用，余弦定理的应用，考查计算能力．