Question

f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x） 是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3-

4

x

不可能是k型函数；
②若函数y=-

1

2

x²+x是3型函数，则m=-4，n=0；
③设函数f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为

4

9

；
④若函数y=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0）是1型函数，则n-m的最大值为

2 3

3

．
下列选项正确的是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、②④
• D、①④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数的值域

专题：简易逻辑

分析：根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．

解答： 解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3-

4

2

=1，f（4）=3-

4

4

=2，
∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是

1

2

型函数，
∴①错误；
对于②，y=-

1

2

x²+x是3型函数，即-

1

2

x²+x=3x，解得x=0，或x=-4，∴m=-4，n=0，
∴②正确；
对于③，f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函数，则x³+2x²+x=kx有二不等负实数根，
即x²+2x+（1-k）=0有二不等负实数根，
∴

1-k＞0 4-4(1-k)＞0

，解得0＜k＜1，
∴③错误；
对于④，y=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0）是1型函数，即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，
∴方程的两根之差x₁-x₂=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( a+1 a )2-4• 1 a2

=

1+ 2 a + 1 a2 - 4 a2

=

1+ 2 a - 3 a2

≤

2 3

3

，即n-m的最大值为

2 3

3

，∴④正确．
综上，正确的命题是②④．
故选：C．

点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是中档题也是易错题．