Question

10．已知函数f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x（a≠0）．若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线与在点（4，f（4））处的切线互相平行，求实数a的值．

Answer 1

分析 先求出函数的导数f′x），分别求得切线的斜率f′（2），f′（4），由切线平行的条件：斜率相等，可得方程，从而求出a的值．

解答 解：∵f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x的导数为
f′x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2{a}^{2}}{x}$+1，
∴在点（2，f（2））处切线斜率为f′（2）=$\frac{a}{2}$-a²+1，
在点（4，f（4））处切线斜率为f′（4）=$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$a²+1．
∵两切线平行，
∴$\frac{a}{2}$-a²+1=$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$a²+1．
解得a=$\frac{1}{2}$（0舍去）．
故a的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义和直线平行的条件，属于中档题．