Question

2．数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和．若S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${{b}_{n}}=\frac{1}{（{{log}_{2}}{{a}_{n}}+1）（{{log}_{2}}{{a}_{n+1}}+1）}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设公比为q，且q＞1，由等比数列的通项公式及等差中项的性质，列出方程组求出a₁、q，即可求出通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和对数的运算性质化简b_n，利用裂项相消法求出前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）设公比为q，且q＞1，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}=7}\\{6{a}_{2}=（{a}_{1}+3）+（{a}_{3}+4）}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=7}\\{6{a}_{1}q={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}+7}\end{array}\right.$，解得解得a₁=1，q=2，
所以a_n=2^n-1；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ${{a}_{n}}={{2}^{n-1}}$，
则log₂a_n+1=n，log₂a_n+1+1=n+1，
所以${b}_{n}=\frac{1}{（{log}_{2}{a}_{n}+1）（{log}_{2}{a}_{n+1}+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
则T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$        （12分）

点评 本题考查了等比数列的通项公式，等差中项的性质，以及数列求和方法：裂项相消法，考查方程思想，化简、变形能力．