Question

6．已知函数$f（x）=\frac{2}{x+3}$．
（1）用定义证明：f（x）在（-3，+∞）上是减函数；
（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）按取值，作差，化简，判号，下结论五步骤证明；
（2）可判断函数$f（x）=\frac{2}{x+3}$在[-1，2]上单调递减，从而求最大值．

解答 解：（1）证明：任取x₁，x₂∈（-3，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}+3}$-$\frac{2}{{x}_{2}+3}$
=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}+3）}$，
∵x₁，x₂∈（-3，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+3＞0，x₂+3＞0，
∴$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}+3）}$＞0，
故f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（-3，+∞）上是减函数；
（2）易知函数$f（x）=\frac{2}{x+3}$在[-1，2]上单调递减，
故$f{（x）_{max}}=f（-1）=\frac{2}{-1+3}=1$．

点评 本题考查了函数的单调性的证明与函数的最值的求法与应用．