Question

2．已知函数f（x）=ax³-3x²+1（a∈R），求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：∵f（x）=ax³-3x²+1，
∴f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
a＞0时，$\frac{2}{a}$＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{a}$或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，
∴f（x）在（-∞，0）递增，在（0，$\frac{2}{a}$）递减，在（$\frac{2}{a}$，+∞）递增；
a=0时，f′（x）=-6x，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，
∴f（x）在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减；
a＜0时，$\frac{2}{a}$＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{2}{a}$或x＞0，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{2}{a}$＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，$\frac{2}{a}$）递增，在（$\frac{2}{a}$，0）递减，在（0，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．