Question

设平面向量

a

=（

3

2

，-

1

2

），

b

=（

1

2

，

3

2

）若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使

x

=

a

+（t²-k）

b

，

y

=-s

a

+t

b

，且

x

⊥

y

（1）求函数关系式S=f（t）；
（2）若函数S=f（t）在[1，+∞]上是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：平面向量及应用

分析：（1）首先根据向量的坐标求出向量的数量积和向量的模，然后利用向量垂直的充要条件求出函数的关系式．
（2）利用定义法证明函数的单调性，然后根据定义域求出函数关系式的值域，最后求出参数的取值范围．

解答： 解：（1）已知向量

a

=（

3

2

，-

1

2

），

b

=（

1

2

，

3

2

）
所以：

a

•

b

=

3

2

•

1

2

-

1

2

•

3

2

=0，|

a

|=|

b

|=1
则：

x

=

a

+（t²-k）

b

=，

y

=-s

a

+t

b

，
由于

x

⊥

y

所以：

x

•

y

=-s

a

2+t

a

•

b

-s(t2-k)

a

•

b

+t(t2-k)

b

2=0
整理得：s=f（t）=t³-kt
（2）设：t₁＞t₂≥1
所以：f（t₁）-f（t₂）=t13-kt1-t23+kt2
=（t₁-t₂）（t12+t1t2+t22-k）
由于函数S=f（t）在[1，+∞]上是单调函数，
所以：t12+t1t2+t22-k＞0
即：t12+t1t2+t22＞k
由于t12+t1t2+t22＞3
所以：k≤3
即k的取值范围为：k≤3．

点评：本题考查的知识要点：向量的运算，向量垂直的充要条件的应用，向量数量积和向量的模的应用，函数的单调性的应用．属于中等题型．