Question

如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

解：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，

    又边长为2，          

由于，在中，                

，

（Ⅱ）,  

（Ⅲ）解法一：过，连接AE，

，  

 ……10分

 

即二面角的余弦值为

解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

显然，平面的法向量为 ………9分

设：平面的法向量，

由,，

………11分    ∴二面角的余弦值为.………12分