Question

（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）
设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？
（3）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.

Answer 1

略

（1）证明：，--------------------------------------------1分
对任意的，有
，---------------------------------------------3分
于是，令，则有-------------------------5分（2），---------------------------------------------------------7分
令，-----------------------------------------9分
所以数列不是封闭数列；---------------------------------------------------10分
（3）解：由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使
成立，----------------------------------------------------11分
于是有为整数，又是正整数。-------------------------------13分
若则，所以，-----------------------14分
若，则，所以，------------------------16分
若，则，于是
，所以，------------------------------------------17分
综上所述，，显然，该数列是“封闭数列”。---------------- 18分