Question

13．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=y}\end{array}\right.$得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，利用互化公式化为直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），相减消去参数t化为普通方程．
（2）曲线C经过伸缩变换φ：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=y}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲线C的方程可得：4（x′）²+（y′）²=4，即得到曲线C′：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d=$\frac{|cosθ-2sinθ+3\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}|sin（θ-φ）-3|}{\sqrt{2}}$，即可得出最小值．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，化为直角坐标方程：x²+y²=4．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x+3$\sqrt{5}$．
（2）曲线C经过伸缩变换φ：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=y}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲线C的方程可得：4（x′）²+（y′）²=4，即得到曲线C′：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
若M（x，y）为曲线C′上任意一点，设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d=$\frac{|cosθ-2sinθ+3\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}|sin（θ-φ）-3|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{\sqrt{5}|1-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{10}$，当且仅当sin（θ-φ）=1时取等号．
因此最小距离为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标与极坐标方程的互化、点到直线的距离公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．