Question

12．设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+$\frac{1}{{x}^{2}}$ （a∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若a＞-1，试判断f（x）在（0，1]上的单调性；
（3）是否存在实数a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质f（x）=-f（-x）即可得出f（x）在（0，1]上的解析式；
（2）求出f′（x），根据a和x的范围判断f′（x）的符号，利用导数与单调性的关系得出结论；
（3）对a进行讨论，判断f（x）在（0，1]山的单调性，得出最大值，令f_max（x）=-6解出a．

解答 解：（1）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），
∴f（-x）=-2ax+$\frac{1}{{x}^{2}}$                   
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=2ax-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2ax-\frac{1}{{x}^{2}}，0＜x≤1}\\{2ax+\frac{1}{{x}^{2}}，-1≤x＜0}\end{array}\right.$．
（2）当x∈（0，1]时，f′（x）=2a+$\frac{2}{{x}^{3}}$=2（a+$\frac{1}{{x}^{3}}$），
∵a＞-1，x∈（0，1]，∴a+$\frac{1}{{x}^{3}}$＞0．即f′（x）＞0．                
∴f（x）在（0，1]上是单调递增函数．                       
（3）当a＞-1时，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）_max=f（1）=2a-1=-6，
∴a=-$\frac{5}{2}$（舍）．
当a≤-1时，由f′（x）=0得，x=$\root{3}{-\frac{1}{a}}$．
∴当0＜x＜$\root{3}{-\frac{1}{a}}$时，f′（x）＞0，当$\root{3}{-\frac{1}{a}}$＜x≤1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，$\root{3}{-\frac{1}{a}}$）上单调递增，在（$\root{3}{-\frac{1}{a}}$，1]上单调递减，
∴当x=$\root{3}{-\frac{1}{a}}$时，f（x）在（0，1]上取得最大值f（$\root{3}{-\frac{1}{a}}$）=2a$\root{3}{-\frac{1}{a}}$-$\frac{1}{\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}}}}$=-6，
即2$\root{3}{-{a}^{2}}$-$\root{3}{{a}^{2}}$=-6，
解得：a=-2$\sqrt{2}$或a=2$\sqrt{2}$（舍）．
综上，存在实数a=-2$\sqrt{2}$，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题．