【题目】设、
分别是椭圆
的左、右焦点,
、
两点分别是椭圆
的上、下顶点,
是等腰直角三角形,延长
交椭圆
于
点,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上异于
、
的动点,直线
、
与直线
分别相交于
、
两点,点
,试问:
外接圆是否恒过
轴上的定点(异于点
)?若是,求该定点坐标;若否,说明理由.
【答案】(1);(2)是,且定点坐标为
.
【解析】
(1)利用椭圆的定义可求得的值,再由
是等腰直角三角形可求得
、
的值,由此可得出椭圆
的方程;
(2)设点,求出直线
、
的斜率之积为
,设直线
的方程为
,可得出直线
的方程,进而可求得点
、
的方程,假设
的外接圆过
轴上的定点
,求出
的外接圆圆心
的坐标,由
结合两点间的距离公式可求得
的值,进而可求得定点的坐标.
(1)因为的周长为
,由定义可得
,
,
所以,所以
,
又因为是等腰直角三角形,且
,所以
,
所以椭圆的方程为:
;
(2)设,
,则
,
所以直线与
的斜率之积
,
设直线的斜率为
,则直线
的方程为:
,
直线的方程:
,
由,可得
,同理
,
假设的外接圆恒过定点
,
,
由于线段的垂直平分线所在直线的方程为
,
线段的垂直平分线所在直线的方程为
,则其圆心
,
又,所以
,解得
,
所以的外接圆恒过定点
.
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【题目】已知数列满足:对任意
,若
,则
,且
,设
,集合
中元素的最小值记为
;集合
,集合
中元素最小值记为
.
(1)对于数列:,求
,
;
(2)求证:;
(3)求的最大值.
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【题目】关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验,受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值,先请240名同学,每人随机写下两个都小于1的正实数x,y组成的实数对(x,y);若将(x,y)看作一个点,再统计点(x,y)在圆x2+y2=1外的个数m;最后再根据统计数m来估计π的值,假如统计结果是m=52,那么可以估计π的近似值为_______.(用分数表示)
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【题目】已知曲线C:y=,D为直线y=
上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点:
(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
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【题目】某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况,随机调查100 名用户,根据这100名用户对该电讯企业的评分,绘制频率分布直方图,如图所示,其中样本数据分组为,
,……
.
(1)估计该地区用户对该电讯企业评分不低于70分的概率,并估计对该电讯企业评分的中位数;
(2)现从评分在的调查用户中随机抽取2人,求2人评分都在
的概率.
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【题目】流行病学资料显示,岁以上男性静息心率过高将会增加患心血管疾病的风险,相反,静息心率相对稳定的
到
岁的男性,在未来
年内患心血管疾病的几率会降低
.研究员们还表示,其中静息心率超过
(次/分)的人比静息心率低于
的人罹患心血管疾病的风险高出一倍.某单位对其所有的离、退休老人进行了静息心率监测,其中一次静息心率的茎叶图和频率分布直方图如下,其中,频率分布直方图的分组区间分别为
、
、
、
、
,由于扫描失误,导致部分数据丢失.据此解答如下问题:
(1)求此单位离、退休人员总数和静息心率在之间的频率;
(2)现从静息心率在之间的数据中任取
份分析离、退休人员身体情况,设抽取的静息心率在
的份数为
,求
的分布列和数学期望.
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【题目】数列是等比数列,公比大于0,前
项和
,
是等差数列,已知
,
,
,
.
(Ⅰ)求数列,
的通项公式
,
;
(Ⅱ)设的前
项和为
(ⅰ)求;
(ⅱ)若,记
,求
的取值范围.
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