【题目】已知曲线C:y=,D为直线y=
上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点:
(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
【答案】(1)见详解;(2) 3或.
【解析】
可用解析法和几何法证明。解析法可设A,B两点的坐标分别为,
,然后求出A,B两点处的切线,两条切线交于直线
之上,所以交点的纵坐标为
联立方程可解和
的关系。之后用两点式求出直线
方程,最后根据直线
方程求出它所过的定点.(2)应用四边形面积公式,代入化简出关于
和
的对称式。然后分情况讨论求解。如果不知道四面下面积公式则可以将四边形分成两个三角形求面积之后做和,但会稍微麻烦一些。(此题若用向量积的概念则更为容易)
(1)证明:设A,B两点的坐标分别为,
,因为
,所以
,
则切线DA为:---------①,切线DB为:
--------②,
代入得
,
得
,因为
故消去得交点的纵坐标
,
因为DA和DB的交点D为直线上的动点,所以有
,
,
直线AB为,点A,B在曲线
上,则有
,整理得
,即
.当
,
时无论
,
取何值时,此等式均成立。因此直线AB过定点
,得证。
(2)设AB的中点为G,由题得G点坐标为,则
,又
.由题意知
,即
即
.代入
得
整理得
.
因,故
.所以
或
.
由第一问中,为这里的
为D点坐标,然而
,故
,所以
,又因为
.所以
。即D坐标为
.
那么,
.
设为
与
的夹角,那么有
代入进行化简有
若,则
.
若,则
,
代入有.
所以四边形ADBE的面积为3或.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某客户考察了一款热销的净水器,使用寿命为十年,改款净水器为三级过滤,每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯需要不定期更换,其中每更换个一级滤芯就需要更换
个二级滤芯,三级滤芯无需更换.其中一级滤芯每个
元,二级滤芯每个
元.记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为
.如图是根据
台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图.
(1)结合图,写出集合;
(2)根据以上信息,求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于元的概率(以
台净水器更换二级滤芯的频率代替
台净水器更换二级滤芯发生的概率);
(3)若在购买净水器的同时购买滤芯,则滤芯可享受折优惠(使用过程中如需再购买无优惠).假设上述
台净水器在购机的同时,每台均购买
个一级滤芯、
个二级滤芯作为备用滤芯(其中
,
),计算这
台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数.并以此作为决策依据,如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为
个,则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平行四边形中,
过
点作
的垂线交
的延长线于点
,
.连结
交
于点
,如图1,将
沿
折起,使得点
到达点
的位置.如图2.
证明:直线
平面
若
为
的中点,
为
的中点,且平面
平面
求三棱锥
的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设、
分别是椭圆
的左、右焦点,
、
两点分别是椭圆
的上、下顶点,
是等腰直角三角形,延长
交椭圆
于
点,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上异于
、
的动点,直线
、
与直线
分别相交于
、
两点,点
,试问:
外接圆是否恒过
轴上的定点(异于点
)?若是,求该定点坐标;若否,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的焦点坐标是,过点
且垂直于长轴的直线交椭圆于
两点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线
与椭圆交于不同的两点
,问三角形
内切圆面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值及此时直线的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若与平行的直线
与曲线
交于
,
两点.且在
轴的截距为整数,
的面积为
,求直线
的方程.
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