【题目】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若不等式在
时恒成立,求实数
的取值范围;
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)求得函数的定义域与导数,分析导数的符号变化,由此可得出函数
的单调递增区间和递减区间;
(2)令,由题意可得
对任意的
恒成立,对实数
的取值进行分类讨论,利用导数分析函数
的单调性,结合
可得出实数
的取值范围.
(1)函数的定义域为
,
.
当时,
对任意的
恒成立,
此时,函数的单调递增区间为
;
当时,令
,可得
.
当时,
;当
时,
.
此时,函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
综上所述,当时,函数
的单调递增区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(2)设,则
,
,
,
则函数在区间
上单调递增,当
时,
,
所以,函数在区间
上单调递增,则
.
①当时,即当
时,
对任意的
恒成立,
所以,函数在区间
上单调递增,当
时,
,合乎题意;
②当时,即当
时,由于函数
在区间
上单调递增,
且,
由零点存在定理可知,存在,使得
,
当时,
;当
时,
.
此时,函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
,
所以,,不合乎题意.
综上所述,实数的取值范围是
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面四边形
是菱形,点
在线段
上,
∥平面
.
(1)证明:点为线段
中点;
(2)已知平面
,
,点
到平面
的距离为1,四棱锥
的体积为
,求
.
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【题目】已知函数.
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;
(2)在锐角△ABC的内角A,B,C所对边为a,b,c,已知f(A)=﹣1,a=2,求△ABC的面积的最大值.
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【题目】已知曲线C:y=,D为直线y=
上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点:
(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
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【题目】某工厂加工某种零件需要经过,
,
三道工序,且每道工序的加工都相互独立,三道工序加工合格的概率分别为
,
,
.三道工序都合格的零件为一级品;恰有两道工序合格的零件为二级品;其它均为废品,且加工一个零件为二级品的概率为
.
(1)求;
(2)若该零件的一级品每个可获利200元,二级品每个可获利100元,每个废品将使工厂损失50元,设一个零件经过三道工序加工后最终获利为元,求
的分布列及数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若与平行的直线
与曲线
交于
,
两点.且在
轴的截距为整数,
的面积为
,求直线
的方程.
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【题目】2021年起,我省将实行“3+1+2”高考模式,某中学为了解本校学生的选考情况,随机调查了100位学生,其中选考化学或生物的学生共有70位,选考化学的学生共有40位,选考化学且选考生物的学生共有20位.若该校共有1500位学生,则该校选考生物的学生人数的估计值为( )
A.300B.450C.600D.750
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