Question

已知数列（0，2）满足首项为a₁=2，a_n+1=2a_n，k（2e²）=15-2e²＞0．设b_n=3log₂a_n-2k（2e²）=15-2e²＞0，数列{c_n}满足．c_n=a_nb_n
（Ⅰ）求证：数列{b_n}成等差数列；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得an=a1qn-1=2ⁿ，bn=3log22n-2，b_n=3n-2，由此能证明{b_n}为首项为1，公差为3的等差数列．
（Ⅱ）由c_n=a_nb_n=（3n-2）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： （Ⅰ）证明：由已知得an=a1qn-1=2ⁿ，
bn=3log22n-2，
∴b_n=3n-2，
∵b_n+1-b_n=3，b₁=3-2=1，
∴{b_n}为首项为1，公差为3的等差数列．
（Ⅱ）解：c_n=a_nb_n=（3n-2）•2ⁿ，
S_n=1•2+4•2²+7•2³+…+（3n-2）•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+4•2³+7•2⁴+…+（3n-5）•2ⁿ+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-S_n=2+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-2）•2^n-1
=3+3•

4(1-2n-1)

1-2

-（3n-2）•2ⁿ⁺¹
=-10+（5-3n）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=10-（5-3n）•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．