Question

设x₁=x₂=1，x₃=2，x_n=（n-1）（x_n-1-x_n-2）（n≥4），求通项{x_n}．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：求出x4，x5，猜测x_n=

1，n=1 n-1，n≥2

．再用数学归纳法证明，注意步骤的完整性，特别是n=k+1要运用假设．

解答： 解：∵x₁=x₂=1，x₃=2，x_n=（n-1）（x_n-1-x_n-2）（n≥4），
∴x₄=3（x₃-x₂）=3×（2-1）=3，x₅=4（x₄-x₃）=4，
…，
猜测x_n=

1，n=1 n-1，n≥2

．
下面证明：n=1，x₁=1，n≥2显然当n=2，x₂=2-1=1成立；
假设当n=k，是x_k=k-1成立，
那么当n=k+1时，x_k+1=（k+1-1）（x_k-x_k-1）=k，也成立．
∴x_n=

1，n=1 n-1，n≥2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，先用不完全归纳法，猜测得到通项，再运用数学归纳法证明，考查推理能力，属于中档题．