Question

2．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱线长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=$\frac{1}{2}$，给出下列命题：
①AC⊥BE   
②EF∥平面ABCD
③△AEF的面积与△BEF的面积相等
④三棱锥A-BEF的体积为定值
⑤异面直线AE，BF所成角不变
其中正确命题的序号是①②④（写出你认为正确的所有命题的序号）

Answer 1

分析 通过证明线面垂直，可证AC⊥BE，故①正确；
根据线面平行的判断定理，可证EF∥平面ABCD，故②正确；
△BEF与△AEF底都是EF，但高不相等，所以面积不相等，故③错误；
根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，所以体积为定值，故④正确；
例举两个特殊位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同可知⑤错误．

解答 解：对于①：∵AC⊥BD，AC⊥DD₁，BD∩DD₁=D，∴AC⊥面BB₁D₁D，∵BE?面BB₁D₁D，∴AC⊥BE，故①正确；
对于②：∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故②正确；
对于③：连结A₁C₁，交B₁D₁于点O₁，连结AO₁，则AO₁⊥EF，∵${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}EF•A{O}_{1}$，${S}_{△BEF}=\frac{1}{2}EF•B{B}_{1}$，且AO₁≠BB₁，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故③错误；
对于④：连结BD，交AC于点O，∵AC⊥面BB₁D₁D，∴AO⊥面BEF，即AO是三棱锥A-BEF的高，∴${V}_{A-BEF}=\frac{1}{3}AO•{S}_{△BEF}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$，故④正确；
对于⑤：设异面直线所成的角为α，当E与D₁重合时，sinα=$\frac{1}{2}$，α=30°；当F与B₁重合时tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以异面直线AE、BF所成的角不是定值，故⑤错误．
故答案为：①②④

点评 本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．