Question

【题目】如图，在四棱锥，平面，，，且，，.

（1）取中点，求证：平面；

（2）求直线与所成角的余弦值.

（3）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) (3)见解析

【解析】

试题分析：（1）建立如图所示的坐标系，先求的方向向量，再出利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的法向量，由可得结果；（2）分别求出直线与的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得直线与所成角的余弦值（结果注意取绝对值）；（3），，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得，从而可确定的坐标，利用可得结果.

试题解析：如图建系：

，，，，，

（1）中点，

∴，

设平面的法向量为，由，，

可得：，∴，∵平面，

∴平面.

（2），，

∴.

（3）设及，

∴ ，

设平面的法向量为，

由，可得，

平面的法向量为，

∴ ，

解得.

∴，∴，，

∴ ，∴.