Question

4．已知△ABC的面积为3$\sqrt{6}$，若动点P满足$\overrightarrow{AP}$=2λ$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB，AC所围成封闭区域的面积是（　　）

• A． 3$\sqrt{6}$
• B． 4$\sqrt{6}$
• C． 6$\sqrt{6}$
• D． 12$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用△ABC的面积为3$\sqrt{6}$，从而求出围成封闭区域的面积．

解答 解：延长AB至D，使得AD=2AB，连结CD，则
∵$\overrightarrow{AP}$=2λ$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$．
∴C，D，P三点共线．
∴P点轨迹为直线CD．
∵△ABC的面积为3$\sqrt{6}$，
∴S_△ACD=2S_△ABC=6$\sqrt{6}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，考查学生的计算能力，确定P点轨迹是关键，属于中档题．