【题目】已知椭圆长轴长为短轴长的两倍,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4,直线
过点
,且与椭圆相交于另一点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段长为
,求直线
的倾斜角;
(3)点在线段
的垂直平分线上,且
,求
的值.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
或
.
【解析】
(1)由椭圆长轴长为短轴长的两倍,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4,列出方程组求出
,
,即可求椭圆的方程;
(2)直线的方程代入椭圆方程,利用韦达定理,结合弦长公式,即可求得结论.
(3)设直线的方程为
,由
,得
,由此根据
和
两种情况分类讨论经,能求出结果.
解:(1)椭圆
长轴长为短轴长的两倍,
连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4,
,
解得,
.
所以椭圆的方程为.
(2)由(1)可知点的坐标是
.
设点的坐标为
,
,直线
的斜率为
,则直线
的方程为
.
代入椭圆方程,消去并整理,得
.
由,得
.
从而.
所以.
由,得
.
整理得,即
,解得
.
所以直线的倾斜角
或
.
(3)由(1)可知.设
点的坐标为
,
,直线
的斜率为
,
则直线的方程为
,
于是,
两点的坐标满足方程组
,
由方程组消去并整理,得
,
由,得
,从而
,
设线段是中点为
,则
的坐标为
,
,
以下分两种情况:
①当时,点
的坐标为
.线段
的垂直平分线为
轴,于是
,
,由
,得
;
②当时,线段
的垂直平分线方程为
,
令,解得
,
由,
,
,
,
整理得,故
,解得
.
综上或
.
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【题目】数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:,求数列{bn}的通项公式;
(3)令(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.
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【题目】某中学随机抽取部分高一学生调查其每日自主安排学习的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图,其中自主安排学习时间的范围是,样本数据分组为
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求直方图中的值;
(Ⅱ)从学校全体高一学生中任选名学生,这
名学生中自主安排学习时间少于
分钟的人数记为
,求
的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率).
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为
,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.
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【题目】如图,设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且
0,若过 A,Q,F2三点的圆恰好与直线
相切,过定点 M(0,2)的直线
与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线
的斜率
,在x轴上是否存在点P(
,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出
的取值范围;如果不存在,请说明理由;(Ⅲ)若实数
满足
,求
的取值范围.
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【题目】3个红球与3个黑球随机排成一行,从左到右依次在球上标记1,2,3,4,5,6,则红球上的数字之和小于黑球上的数字之和的概率为( )
A.B.
C.D.
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【题目】已知四边形为正方形,
平面
,四边形
与四边形
也都为正方形,连接
,点
为
的中点,有下述四个结论:
①; ②
与
所成角为
;
③平面
; ④
与平面
所成角为
.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
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