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(1)当时,上恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,若函数上恰有两个不同零点,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使函数f(x)和函数在公共定义域上具有相同的单调区间?若存在,求出的值,若不存在,说明理由。

解:(1)由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x,即 
,则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.求得 
时;;当时, 
在x=e处取得极小值,也是最小值,
,故
(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a,在[1,3]上恰有两个相异实根。
令g(x)=x-2lnx,则 
时,,当
g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在上是单调递增函数。
 
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3]
(3)存在m=,使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f(x)的定义域为(0,+∞)。
,则,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;
,由可得2x2-m>0,解得x>或x<-(舍去)
时,函数的单调递增区间为(,+∞), 单调递减区间为(0,
而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞)
故只需=,解之得m=
即当m=时,函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性

解析

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