Question

已知a，b，c为正数．
（1）求证：

b

a

+

c

b

+

a

c

≥3；
（2）求证：

a

a+b

+

b

b+c

+

c

a+c

＜2．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：（1）根据基本不等式的性质可证，
（2）利用放缩法，

a

a+b

＜

a+c

a+b+c

；

b

b+c

＜

a+b

a+b+c

；

c

a+c

＜

b+c

a+b+c

，三式相加得结论

解答： 解：（1）∵

b

a

•

c

b

•

a

c

=1
∴

b

a

+

c

b

+

a

c

≥3

b a • c b • a c

=3，当且仅当a=b=c时取等号；
（2）∵a，b，c为正数
∴

a

a+b

＜

a+c

a+b+c

；

b

b+c

＜

a+b

a+b+c

；

c

a+c

＜

b+c

a+b+c

∴

a

a+b

+

b

b+c

+

c

a+c

＜

a+c

a+b+c

+

a+b

a+b+c

+

b+c

a+b+c

=2

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则．