Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n＝a_n＋1－2^n＋1＋1，n∈N^*，且a₁，a₂＋5，a₃成等差数列．

(1)求a₁的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有＜.

Answer 1

解：(1)∵a₁，a₂＋5，a₃成等差数列，

∴2(a₂＋5)＝a₁＋a₃.

又∵2a₁＝2S₁＝a₂－2²＋1,2(a₁＋a₂)＝2S₂＝a₃－2³＋1，

∴a₂＝2a₁＋3，a₃＝6a₁＋13.

因此4a₁＋16＝7a₁＋13，从而a₁＝1.

(2)由题设条件知，n≥2时，2S_n－1＝a_n－2ⁿ＋1，

2S_n＝a_n＋1－2^n＋1＋1.

∴2a_n＝a_n＋1－a_n－2ⁿ，于是

a_n＋1＝3a_n＋2ⁿ(n≥2)．

而由(1)知，a₂＝2a₁＋3＝5＝3a₁＋2，

因此对一切正整数n，有a_n＋1＝3a_n＋2ⁿ，

所以a_n＋1＋2^n＋1＝3(a_n＋2ⁿ)．

又∵a₁＋2¹＝3，

∴{a_n＋2ⁿ}是以3为首项，3为公比的等比数列．

故a_n＋2ⁿ＝3ⁿ，即a_n＝3ⁿ－2ⁿ.

(3)证明：∵a_n＝3ⁿ－2ⁿ＝3·3^n－1－2ⁿ＝3^n－1＋2(3^n－1－2^n－1)≥3^n－1，