Question

11．已知直线l与双曲线C：x²-y²=2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为2．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入渐近线的方程，求得A，B的坐标，可得中点坐标，代入双曲线的方程，运用直角三角形的面积公式计算即可得到．

解答 解：双曲线C：x²-y²=2即为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
可得a=b=$\sqrt{2}$，渐近线方程为y=±x，
若直线l的斜率不存在，可设x=t，
即有A（t，t），B（t，-t），中点为（t，0），
代入双曲线的方程可得t=±$\sqrt{2}$，
直角三角形AOB的面积为$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•2\sqrt{2}$=2；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，
代入渐近线方程，可得A（$\frac{m}{1-k}$，$\frac{m}{1-k}$），B（-$\frac{m}{1+k}$，$\frac{m}{1+k}$），
求得AB的中点为（$\frac{km}{1-{k}^{2}}$，$\frac{m}{1-{k}^{2}}$），
代入双曲线的方程可得m²=2（1-k²），①
由题意可得A，B在y轴的同侧，可得$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}-1}$＞0，
①显然不成立．
综上可得，△AOB的面积为2．
故答案为2．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质，主要考查渐近线方程的运用，同时考查中点坐标公式和三角形的面积计算公式，属于中档题．