Question

2．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且$f（x）+g（x）={（\frac{1}{2}）^x}$．
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）若存在${x_0}∈[{\frac{1}{2}，1}]$，使得等式af（x₀）+g（2x₀）=0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以-x代替x，建立方程，与已知方程联立，即可求函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）由题，即存在${x_0}∈[\frac{1}{2}，1]$，$a=-\frac{{g（2{x_0}）}}{{f（{x_0}）}}$，构造函数，确定其范围，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由$f（x）+g（x）={（\frac{1}{2}）^x}$得$f（-x）+g（-x）={（\frac{1}{2}）^{-x}}$，即$-f（x）+g（x）={（\frac{1}{2}）^{-x}}$，
所以$f（x）=\frac{1}{2}（{2^{-x}}-{2^x}）$，$g（x）=\frac{1}{2}（{2^{-x}}+{2^x}）$．
（2）由题，即存在${x_0}∈[\frac{1}{2}，1]$，$a=-\frac{{g（2{x_0}）}}{{f（{x_0}）}}$，
设$h（x）=-\frac{g（2x）}{f（x）}$，则h（x）=$-\frac{{\frac{1}{2}（{2^{-2x}}+{2^{2x}}）}}{{\frac{1}{2}（{2^{-x}}-{2^x}）}}$=$\frac{{{2^{2x}}+{2^{-2x}}}}{{{2^x}-{2^{-x}}}}$=$（{2^x}-{2^{-x}}）+\frac{2}{{{2^x}-{2^{-x}}}}$，
$x∈[\frac{1}{2}，1]$时，${2^x}-{2^{-x}}∈[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{3}{2}]$，
设t=2^x-2^-x，则$t∈[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{3}{2}]$，而$h（x）=t+\frac{2}{t}$，$y=t+\frac{2}{t}$在$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}]$是递减，在$[\sqrt{2}，\frac{3}{2}]$上递增，
因此${y_{最小}}=\sqrt{2}+\frac{2}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$，${y_{最大}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{2}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，
所以$h（x）∈[2\sqrt{2}，\frac{{5\sqrt{2}}}{2}]$，即$a∈[2\sqrt{2}，\frac{{5\sqrt{2}}}{2}]$．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，正确构造函数是关键．