Question

已知关于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14有两个不同的实根x₁，x₂，求下列各条件下实数m的取值范围：
（1）x₁＜x₂＜5；
（2）x₁＜1，x₂＞3；
（3）0＜x₁＜1＜x₂＜5．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）方程两根不相等，均小于5，由根的差别式、韦达定理得到相应关系式，解关系式，得本题结论；（2）方程两根在两数之外，可以利用图象特征，得到相应关系式，解关系式，得本题结论；（3）方程两根分别在两个区间，可利用图象特征，得到相应关系式，解关系式，得本题结论．

解答： 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14有两个不同的实根x₁，x₂，满足x₁＜x₂＜5，
∴△=[2（m+3）]²-4（2m+14）＞0，
（x₁-5）+（x₂-5）＜0，
（x₁-5）（x₂-5）＞0．
∵x₁+x₂=-2（m+3），
x₁x₂=2m+14，
∴

点评：本题考查的是方程根的分布、根的差别式、韦达定理，还考查了二次函数的图象和分类讨论的数学思想，本题有一难度，属于中档题．