Question

求下列函数的值域．
（1）y=3x+1，x∈[1，2]；
（2）y=x²-4x-5，x∈[-1，1]；
（3）y=

x+1

x-1

；
（4）y=

1-x2

1+x2

；
（5）y=2x+

1-x

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由观察法求值域；
（2）由配方法求值域；
（3）由分离系数法求值域；
（4）由分离系数法求值域；
（5）由换元法求值域．

解答： 解：（1）∵x∈[1，2]；
∴3x+1∈[4，7]；
故y=3x+1，x∈[1，2]的值域为[4，7]；
（2）y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∵-1≤x≤1，
∴-8≤x²-4x-5≤0，
故y=x²-4x-5，x∈[-1，1]的值域为[-8，0]；
（3）y=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

；
故y=

x+1

x-1

的值域为{y|y≠1}；
（4）y=

1-x2

1+x2

=-1+

2

1+x2

；
∵0＜

2

1+x2

≤2，
∴-1＜-1+

2

1+x2

≤1，
故y=

1-x2

1+x2

的值域为（-1，1]；
（5）令

1-x

=t（t≥0），x=1-t²，
y=2x+

1-x

=2（1-t²）+t
=-2（t-

1

4

）²+

9

8

，
∵t≥0，∴-2（t-

1

4

）²+

9

8

≤

9

8

；
则函数y=2x+

1-x

的值域为（-∞，

9

8

]．

点评：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．