Question

如图：内接于⊙O的△ABC的两条高线AD、BE相交于点H,过圆心O作OF⊥BC于 F，连接AF交OH于点G，并延长CO交圆于点I.

(1) 若,试求的值；
(2)若,试求的值；
(3)若O为原点，点B的坐标为(－4,－3)，点C的坐标为C(4,－3),试求点G的轨迹方程.

Answer 1

（1）;（2）;（3）（）.

解析试题分析：（1）利用向量共线，得∴；
（2）利用共面向量基本定理以及向量的加减运算，得出，而
∴；
（3）经过计算，∵OF=IB=,∴FG=又F为BC的中点，可得出G为△ABC的重心，然后用替换的思想，设A（）,G（），则,得：，把动点代入已知方程，便可求出未知动点的轨迹，注意范围.

试题解析：∵CI为直径 ∴∠IAC和∠IBC均为直角
∴AI∥BE,BI∥AD∴四边形AIBH为平行四边形
（1）∴
（2）
而
∴
∴而
∴
（3）∵OF=IB=,∴FG=又F为BC的中点，∴G为△ABC的重心
显然,A的轨迹为除B,C外的⊙O，其方程为：（）
设A（）,G（），则,得：代入⊙O的方程并化简得G的轨迹方程为：（）.
考点：向量共线基本定理，共面向量基本定理，替换法.